利用弹簧振子模型巧解物理竞赛题

在物理竞赛中，经常涉及利用熟知的物理模型进行等效类比求解。本文就弹簧振子模型的巧用举例分析，以供参考。
[例1]设海水的密度随着深度每增加1m即增加至表面密度的万分之五。一密度为1.5×103kg/m3的刚性小球自海面无初速下落，至海底时速度又刚好为零。若忽略海洋湍流及其它一切因素的影响，试求此处海水的深度及小球下落时间。
分析与解：小球在海水中下落时受重力与浮力作用，因浮力随海水的密度变化而变化，故小球在海水中并非做匀变速运动。既然小球受变力作用，必须分析变力有何特征。
设海面下x米处海水密度为ρx，海水表面密度为ρ0，则小球在任意位置受浮力

取g=10m/s2，ρ0=1.0×103kg/m3，则
F浮=5xV
令k=5V，则 F浮=kx
故小球在海水中任一位置所受合力为
F合=mg-kx
从小球受力特征我们不难发现，小球在海水中受力情况类似于有固定悬点的弹簧振子的受力，如图1所示。L为弹簧原长，振子在