高考数学综合能力讲座30讲

结论开放的探索性问题

题型预测

探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．
结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．

范例选讲

例1．设f(x) 是定义域为R的一个函数，给出下列五个论断：
① f(x)的值域为R；
② f(x)是R上的单调递减函数；
③ f(x)是奇函数；
④ f(x)在任意区间[a, b] (a f(b)；
⑤ f(x)有反函数．
以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：⑤ ①），至少写出你认为正确的三个命题： .
讲解：本题考察对于函数性质的理解．
根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：② ⑤；④ ⑤；② ④（或④ ②）．
进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．