向量与解析几何的结合题 (详解)

 

5、如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且 ，|BC|＝2|AC|．
（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使 ．
解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为
∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵ ， ∴AC⊥BC
又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为（1，1） ∴点B的坐标为（－1，－1）
将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得 ， 则求得椭圆方程为
（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k（x－1）+1，y＝－k（x－1）+1
由 得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0 *）
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x＝1是方程（*）的一个根，∴xP•1＝ 即xP＝
同理xQ＝
∴直线PQ的斜率为 （定值） 又∠ACB的平分线也垂直于OA ∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB= ）
∴向量 ，即总存在实数 ，使 成立．