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学科：数学 年级：初二
本周的内容：尺规作图、等腰三角形的性质与判定
一、 本周的重点和难点都是等腰三角形的性质和判定
1. 尺规作图
尺规作图与通常的画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步都必须有根有据不能随便画。对于较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。
2. 等腰三角形的性质与判定
（1） 性质
性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（2） 判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
3. 等腰三角形性质与判定的应用
（1）计算角的度数
利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
①已知角的度数，求其它角的度数
②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）
（2）证明线段或角相等
（3）有等腰三角形条件时的常用辅助线
如图：若AB=AC
①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC
②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC
③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC
作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
二、 例题分析
例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h
作法：
1、作PQ⊥MN，垂足为D
2、在DM上截取DA=h
3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C
4、连结AB、AC
则△ABC为所求的三角形。
例2 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）
说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。
例3 已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC。求证：AC= BD。
证明：
∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
∴AC= DC
∴AC= BD
例4 如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB。求∠A的度数。
分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=z
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=z
∵BE=DE
∴∠EBD=∠EDB=90°
∵AD=DE
∴∠A=∠AED=x
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）
∴
解得x=45°
即：∠A=45°
例5 已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。求证：△MDE是等腰三角形。
分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB= ∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
∴△BDM≌△CEM（SAS）
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
例6 如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：△DEF也是等边三角形。
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC－BC=AC－CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中
∴△AEF≌△CDE（SAS）
∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形
说明：证明等边三角形有三种思路：
①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。
具体问题中可利用不同的方式进行求解。
三、 练习题
1、 等腰三角形顶角为36°，底角为_________。
2、 等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。
3、 等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。
4、 等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。
5、 已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。
6、 △ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。
7、 若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。
8、 已知两边及其一边上的高，求作三角形。
9、 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。
9、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC= ∠A。
四、 练习题解答
1、 72°
2、 20°
3、 120°或20°，30°或80°
4、 14或16
5、 15°
6、 15
7、 n°
8、 已知：线段a、b、h
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，高BD=h
作法：
①作PQ⊥MN，垂足为D
②在DM上截取DB=h
③以B为圆心，以a为半径作弧交DP于点C
④以点C为圆心以b为半径作弧交PQ于点A、A’
⑤连结AB、BC、A’B
则△ABC和△A’BC为所要求作的三角形
注：此题易漏画一个三角形，按要求可画出两个三角形。
9、 解：设∠A=x°
∵AE=DE
∴∠ADE=∠A=x°（等边对等角）
∠BED=∠A+∠ADE=2x°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵DE=DB
∴∠EBD=∠BED=2x°
∠BDC=∠A+∠ABD=3x°
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=3x°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=3x°
在△ABC中∠A+∠C+∠ABC=180°（三角形内角和为180°）
∴x+3x+3x=180°
解得x= ，即∠A= °
10、 证明：作∠A的平分线交BC于点E
则∠EAC= ∠BAC
∠AEC=90°（等腰三角形顶角的平分线和底边上的高重合）
∴∠EAC+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵BD⊥AC，垂足为点D
∴∠BDC=90°
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC=∠EAC= ∠BAC
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问题144295
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