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恒成立不等式中的参数问题,可以通过分离参数,然后用变量和函数的观点讨论主变量的变化情况,由此来决定参数的变化范围,这种方法在解题中具有独特的作用.
1.一元二次不等式中的参数问题
例:
已知ax^2-2x+2>0对于1<x<4的一切x都成立,求实数a的取值范围.
解:由题意得: 1<x<4
ax^2-2x+2>0
则1<x<4
a>2(x-1)/x^
记M=max[2(x-1)/x^],令f(x)=2(x-1)/x^=-2(1/x-1/2)^+1/2
因为1/4<1/x<1,故当1/x=1/2,即x=2时,M=1/2.所以a>1/2
2.指数不等式中的参数问题
例:
若x≤-1,1+3^x+(a-a^)9^x>0恒成立,求实数a的取值范围.
解:已知不等式化为(a-a^)>(-3^x-1)/9^x.
设t=(1/3)^x,因x≤-1,则t≥3.
若设y=(-3^x-1)/9^x=-t^-t=-(t+1/2)^+1/4,由t≥3得y≤-12
因(a-a^)>(-3^x-1)/9^x恒成立,故a-a^>-12.解得:-3<a<4
3.对数不等式中的参数问题
例:
对于,1<x≤2,关于x的不等式lg2ax/lg(a+x)<1恒成立,求实数a的取值范围
解:因1<x≤2,由已知不等式得:a>0,故a+x>1
由已知2ax<a+x,(2x-1)*a<x
因1<x≤2,,2x-1>0,得0<a<x/(2x-1)
又1<x≤2,,设x/(2x-1)=t,则1<x=t/(2t-1)≤2,解得2/3≤t<1
因0<a<x/(2x-1)对1<x≤2恒成立.故0<a<2/3
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