|
已知函数f(x)是定义在R上的非零函数，f(0)不等于0，且对任一的x,y属于R,
满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).
求证：1。f(x)是偶函数.
2。若存在正数a，使f(a/2)=0，则f(x)是周期函数。
3。f(2x)=2[f(x)]^2-1.
解：1.令x=y=0,得
2f(0)=2[f(0)]^2
又f(0)不等于0,
f(0)=1
f(x)+f(-x)=f(0+x)+f(o-x)=2f(x)f(0)
=2f(x)
即f(-x)=f(x).
f(x)是偶函数。
2.f(a+x)+f(x)
=f[(a/2+x)+a/2]+f[(a/2+x)-a/2]
=2f(a/2+x)f(a/2)=0
则f(a+x)=-f(x)
则f(a+2x)=f[a+(a+x)]=-f(a+x)=f(x)]
则f(x)是以2a为周期的周期函数。
3。因f(2x)+1=f(2x)+f(0)
=f(x+x)+f(x-x)=2f(x)f(x)
则f(2x)=2[f(x)]^2-1.
|
